程序是怎么跑起来的

二进制小数与浮点数

作者：oasis

二进制小数的表示

$1011.0011$ 中，小数位 $0011$ 表示 $2^{- 1}$ 到 $2^{- 4}$ 的和。

负数次幂：

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

计算机采用浮点数表示小数，将小数分为：符号、尾数、基数、指数。

由于计算机内部使用二进制，基数一定是 $2$ ，所以实际数据中不包含基数部分。

符号、尾数、指数这三部分会占用 $32$ 位或 $64$ 位比特的长度。

IEEE 标准的表示：

$32$ 位表示：

$64$ 位表示：

尾数部分和指数部分不是单纯的二进制整数。尾数部分使用的是整数部分固定为 $1$ 的规格化表示法；指数部分使用移码表示法。

十进制小数 $0.26$ ，可以采用多种科学计数法的形式表示，下面列举三个形式：

规格化表示法实际是制定了一种标准。例如对于十进制小数，可以要求整数部分必须是 $0$ 。于是小数 $0.26$ ，只有一种科学计数法的表示形式（即示例 1）。

对于二进制小数，规格化表示法要求整数部分必须为 $1$ 。

示例： $8.5$ 的表示

$32$ 位表示：

符号	指数（移码表示， $8$ 位）	尾数（ $23$ 位）
$0$	$2^{n - 1} - 1 + 3 = 1000 0010$	$00010000000000000000000$

把真值整体加上一个偏置 $bias$ ，编码后就可按无符号数比较大小。常用 $n$ 位取 $bias = 2^{n - 1}$ 。

$4$ 位二进制移码： $0000 \sim 1111$ ，偏置 $bias = 8$ ，范围是 $- 8 \sim + 7$ 。